淺析GPS導航解算原理
發布日期:: 2012/6/9 作者來源:: 電子工程世界/衛通達
關鍵字：GPS 導航解算
全球定位系統(GPS)是英文Global Positioning System的字頭縮寫詞的簡稱。它的含義是利用導航衛星進行測時和測距，以構成全球定位系統。它是由美國國防部主導開發的一套具有在海、陸、空進行全方位實時三維導航與定位能力的新一代衛星導航定位系統。 GPS用戶部分的核心是GPS接收機。其主要由基帶信號處理和導航解算兩部分組成。其中基帶信號處理部分主要包括對GPS衛星信號的二維搜索、捕獲、跟蹤、偽距計算、導航數據解碼等工作。導航解算部分主要包括根據導航數據中的星歷參數實時進行各可視衛星位置計算；根據導航數據中各誤差參數進行星鐘誤差、相對論效應誤差、地球自轉影響、信號傳輸誤差(主要包括電離層實時傳輸誤差及對流層實時傳輸誤差)等各種實時誤差的計算，并將其從偽距中消除；根據上述結果進行接收機PVT（位置、速度、時間）的解算；對各精度因子(DOP)進行實時計算和監測以確定定位解的精度。 本文中重點討論GPS接收機的導航解算部分，基帶信號處理部分可參看有關資料。本文討論的假設前提是GPS接收機已經對GPS衛星信號進行了有效捕獲和跟蹤，對偽距進行了計算，并對導航數據進行了解碼工作。
1 地球坐標系簡述
要描述一個物體的位置必須要有相關聯的坐標系，地球表面的GPS接收機的位置是相對于地球而言的。因此，要描述GPS接收機的位置，需要采用固聯于地球上隨同地球轉動的坐標系、即地球坐標系作為參照系。
地球坐標系有兩種幾何表達形式，即地球直角坐標系和地球大地坐標系。地球直角坐標系的定義是：原點O與地球質心重合，Z軸指向地球北極，X軸指向地球赤道面與格林威治子午圈的交點(即0經度方向)，Y軸在赤道平面里與XOZ構成右手坐標系(即指向東經90度方向)。 地球大地坐標系的定義是：地球橢球的中心與地球質心重合，橢球的短軸與地球自轉軸重合。地球表面任意一點的大地緯度為過該點之橢球法線與橢球赤道面的夾角 φ，經度為該點所在之橢球子午面與格林威治大地子午面之間的夾角λ ，該點的高度h為該點沿橢球法線至橢球面的距離。設地球表面任意一點P在地球直角坐標系內表達為P( x，y，z )，在地球大地坐標系內表達為P ( φ，λ ，h)。則兩者互換關系為：大地坐標系變為直角坐標系： （1） 式中：n為橢球的卯酉圈曲率半徑，e為橢球的第一偏心率。 若橢球的長半徑為a，短半徑為b，則有 （2） 直角坐標系變為大地坐標系，可由下述方法求得 φ由疊代法獲得 φc為地心緯度， ep為橢圓率
可設初始值φ=φc 進行疊代，直到|φi=1-φi| 小于某一門限為止。
這兩種坐標系在定位系統中經常交叉使用，必須熟悉兩種坐標系之間的轉換關系。
2 GPS定位中主要誤差及消除算法
GPS定位中的主要誤差有：星鐘誤差，相對論誤差，地球自轉誤差，電離層和對流層誤差。 1）星鐘誤差 星鐘誤差是由于星上時鐘和GPS標準時之間的誤差形成的，GPS測量以精密測時為依據，星鐘誤差時間上可達1ms，造成的距離偏差可達到300Km，必須加以消除。一般用二項式表示星鐘誤差。 （3） GPS星歷中通過發送二項式的系數來達到修正的目的。經此修正以后，星鐘和GPS標準時之間的誤差可以控制在20ns之內。 2）相對論誤差 由相對論理論，在地面上具有頻率 的時鐘安裝在以速度 運行的衛星上以后，時鐘頻率將會發生變化，改變量為：
即衛星上時鐘比地面上要慢，要修正此誤差，可采用系數改進的方法。GPS星歷中廣播了此系數用以消除相對論誤差，可以將相對論誤差控制在70ns以內。 3）地球自轉誤差 GPS定位采用的是與地球固連的協議地球坐標系，隨地球一起繞z軸自轉。衛星相對于協議地球系的位置(坐標值)，是相對歷元而言的。若發射信號的某一瞬間，衛星處于協議坐標系中的某個位置，當地面接收機接收到衛星信號時，由于地球的自轉，衛星已不在發射瞬時的位置〔坐標值)處了。也就是說，為求解接收機接收衛星信號時刻在協議坐標系中的位置，必須以該時刻的坐標系作為求解的參考坐標系。而求解衛星位置時所使用的時刻為衛星發射信號的時刻。這樣，必須把該時刻求解的衛星位置轉化到參考坐標系中的位置。 設地球自轉角速度為 we，發射信號瞬時到接收信號瞬時的信號傳播延時為△t ，則在此時間過程中升交點經度調整為 則三維坐標調整為 （4） 地球自轉引起的定位誤差在米級，精密定位時必須考慮加以消除。 4）電離層和對流層誤差 電離層是指地球上空距地面高度在50-1000km 之間的大氣層。電離層中的氣體分子由于受到太陽等天體各種射線輻射，產生強烈的電離，形成大量的自由電子和正離子。 電離層誤差主要有電離層折射誤差和電離層延遲誤差組成。其引起的誤差垂直方向可以達到50米左右，水平方向可以達到150米左右。目前，還無法用一個嚴格的數學模型來描述電子密度的大小和變化規律，因此，消除電離層誤差采用電離層改正模型或雙頻觀測加以修正。 對流層是指從地面向上約40km范圍內的大氣底層，占整個大氣質量的99%。其大氣密度比電離層更大，大氣狀態也更復雜。對流層與地面接觸，從地面得到輻射熱能，溫度隨高度的上升而降低。對流層折射包括兩部分：一是由于電磁波的傳播速度或光速在大氣中變慢造成路徑延遲，這占主要部分；二是由于GPS衛星信號通過對流層時，也使傳播的路徑發生彎曲，從而使測量距離產生偏差。在垂直方向可達到2.5米，水平方向可達到20米。對流層誤差同樣通過經驗模型來進行修正。 GPS星歷中通過給定電離層對流層模型以及模型參數來消除電離層和對流層誤差。實驗資料表明，利用模型對電離層誤差改進有效性達到75%，對流層誤差改進有效性為95%。
3 GPS星歷結構及解算過程
要得到接收機的位置，在接收機時鐘和GPS標準時嚴格同步的情況下，則待求解位置是3個未知變量，需要3個獨立方程來求解。但是實際情況中，很難做到接收機時鐘和GPS標準時嚴格同步，這樣，我們把接收機時間和GPS標準時間偏差也作為一個未知變量，這樣，求解就需要4個獨立方程，也就是需要有4顆觀測衛星。圖1 GPS定位示意圖（未考慮時間偏差） 假設接收機位置為（xu，yu，zu） ，接收機時間偏差為 tu，則由于時間偏差引起的距離偏差為為得到的偽距觀測值。我們可以得到聯立方程 （5） 將上式線性化，即在真實位置（xu，yu，zu）進行泰勒級數展開，忽略高次項，得到 （6） 其中， 式（6）即為實際計算的疊代公式，疊代終止條件是真實位置 （xu，yu，zu）的變化量小于某一個閾值，最終得到 可以作為調整接收機時間偏差的依據，計算一般采用矩陣方式求解。要求解該方程，我們還需要預先知道4顆衛星的位置 （xj，yj，zj），而衛星位置可以從該衛星的星歷中獲得。 GPS衛星星歷給出了本星的星歷，根據星歷可以算出衛星的實時位置，并且星歷中給出了消除衛星星鐘誤差、相對論誤差、地球自轉誤差、電離層和對流層誤差的參數，根據這些參數計算出的衛星位置，可以基本上消除上述誤差。 求解衛星位置的基本步驟為： 計算衛星運行平均角速度 ①計算歸化時間； ②計算觀測時刻的平近點角； ③計算偏近點角； ④計算衛星矢徑； ⑤計算衛星真近點角； ⑥計算升交點角距； ⑦計算攝動改正項； ⑧計算經過攝動改正的升交距角、衛星矢徑、軌道傾角； ⑨計算觀測時刻的升交點經度； ⑩計算衛星在地心坐標系中的位置。 特別值得指出的是，在計算衛星真近點角Vk時，應采用公式 （7） 其中，e為偏心率， Ek為衛星偏近點角。有部分參考書籍計算衛星真近點角的公式有誤，會導致衛星真近點角 的象限模糊問題，從而無法得到衛星正確位置。 進行上述計算后，再根據星歷中廣播的各誤差參數進一步消除各項誤差。這樣，我們就得到一個完整的利用GPS星歷進行導航定位解算的過程。
4 結論
我們詳細地敘述了GPS衛星的導航定位原理以及定位解算的算法，分析了其中主要誤差來源和消除方法。當然，對于衛星數多于4顆星時的算法以及差分GPS算法都可以在此算法基礎上進行深入研究。
整理：洪麓豐
全球定位系統(GPS)是英文Global Positioning System的字頭縮寫詞的簡稱。它的含義是利用導航衛星進行測時和測距，以構成全球定位系統。它是由美國國防部主導開發的一套具有在海、陸、空進行全方位實時三維導航與定位能力的新一代衛星導航定位系統。 GPS用戶部分的核心是GPS接收機。其主要由基帶信號處理和導航解算兩部分組成。其中基帶信號處理部分主要包括對GPS衛星信號的二維搜索、捕獲、跟蹤、偽距計算、導航數據解碼等工作。導航解算部分主要包括根據導航數據中的星歷參數實時進行各可視衛星位置計算；根據導航數據中各誤差參數進行星鐘誤差、相對論效應誤差、地球自轉影響、信號傳輸誤差(主要包括電離層實時傳輸誤差及對流層實時傳輸誤差)等各種實時誤差的計算，并將其從偽距中消除；根據上述結果進行接收機PVT（位置、速度、時間）的解算；對各精度因子(DOP)進行實時計算和監測以確定定位解的精度。 本文中重點討論GPS接收機的導航解算部分，基帶信號處理部分可參看有關資料。本文討論的假設前提是GPS接收機已經對GPS衛星信號進行了有效捕獲和跟蹤，對偽距進行了計算，并對導航數據進行了解碼工作。
1 地球坐標系簡述
要描述一個物體的位置必須要有相關聯的坐標系，地球表面的GPS接收機的位置是相對于地球而言的。因此，要描述GPS接收機的位置，需要采用固聯于地球上隨同地球轉動的坐標系、即地球坐標系作為參照系。
地球坐標系有兩種幾何表達形式，即地球直角坐標系和地球大地坐標系。地球直角坐標系的定義是：原點O與地球質心重合，Z軸指向地球北極，X軸指向地球赤道面與格林威治子午圈的交點(即0經度方向)，Y軸在赤道平面里與XOZ構成右手坐標系(即指向東經90度方向)。 地球大地坐標系的定義是：地球橢球的中心與地球質心重合，橢球的短軸與地球自轉軸重合。地球表面任意一點的大地緯度為過該點之橢球法線與橢球赤道面的夾角 φ，經度為該點所在之橢球子午面與格林威治大地子午面之間的夾角λ ，該點的高度h為該點沿橢球法線至橢球面的距離。設地球表面任意一點P在地球直角坐標系內表達為P( x，y，z )，在地球大地坐標系內表達為P ( φ，λ ，h)。則兩者互換關系為：大地坐標系變為直角坐標系： （1） 式中：n為橢球的卯酉圈曲率半徑，e為橢球的第一偏心率。 若橢球的長半徑為a，短半徑為b，則有 （2） 直角坐標系變為大地坐標系，可由下述方法求得 φ由疊代法獲得 φc為地心緯度， ep為橢圓率
可設初始值φ=φc 進行疊代，直到|φi=1-φi| 小于某一門限為止。
這兩種坐標系在定位系統中經常交叉使用，必須熟悉兩種坐標系之間的轉換關系。
2 GPS定位中主要誤差及消除算法
GPS定位中的主要誤差有：星鐘誤差，相對論誤差，地球自轉誤差，電離層和對流層誤差。 1）星鐘誤差 星鐘誤差是由于星上時鐘和GPS標準時之間的誤差形成的，GPS測量以精密測時為依據，星鐘誤差時間上可達1ms，造成的距離偏差可達到300Km，必須加以消除。一般用二項式表示星鐘誤差。 （3） GPS星歷中通過發送二項式的系數來達到修正的目的。經此修正以后，星鐘和GPS標準時之間的誤差可以控制在20ns之內。 2）相對論誤差 由相對論理論，在地面上具有頻率 的時鐘安裝在以速度 運行的衛星上以后，時鐘頻率將會發生變化，改變量為：
即衛星上時鐘比地面上要慢，要修正此誤差，可采用系數改進的方法。GPS星歷中廣播了此系數用以消除相對論誤差，可以將相對論誤差控制在70ns以內。 3）地球自轉誤差 GPS定位采用的是與地球固連的協議地球坐標系，隨地球一起繞z軸自轉。衛星相對于協議地球系的位置(坐標值)，是相對歷元而言的。若發射信號的某一瞬間，衛星處于協議坐標系中的某個位置，當地面接收機接收到衛星信號時，由于地球的自轉，衛星已不在發射瞬時的位置〔坐標值)處了。也就是說，為求解接收機接收衛星信號時刻在協議坐標系中的位置，必須以該時刻的坐標系作為求解的參考坐標系。而求解衛星位置時所使用的時刻為衛星發射信號的時刻。這樣，必須把該時刻求解的衛星位置轉化到參考坐標系中的位置。 設地球自轉角速度為 we，發射信號瞬時到接收信號瞬時的信號傳播延時為△t ，則在此時間過程中升交點經度調整為 則三維坐標調整為 （4） 地球自轉引起的定位誤差在米級，精密定位時必須考慮加以消除。 4）電離層和對流層誤差 電離層是指地球上空距地面高度在50-1000km 之間的大氣層。電離層中的氣體分子由于受到太陽等天體各種射線輻射，產生強烈的電離，形成大量的自由電子和正離子。 電離層誤差主要有電離層折射誤差和電離層延遲誤差組成。其引起的誤差垂直方向可以達到50米左右，水平方向可以達到150米左右。目前，還無法用一個嚴格的數學模型來描述電子密度的大小和變化規律，因此，消除電離層誤差采用電離層改正模型或雙頻觀測加以修正。 對流層是指從地面向上約40km范圍內的大氣底層，占整個大氣質量的99%。其大氣密度比電離層更大，大氣狀態也更復雜。對流層與地面接觸，從地面得到輻射熱能，溫度隨高度的上升而降低。對流層折射包括兩部分：一是由于電磁波的傳播速度或光速在大氣中變慢造成路徑延遲，這占主要部分；二是由于GPS衛星信號通過對流層時，也使傳播的路徑發生彎曲，從而使測量距離產生偏差。在垂直方向可達到2.5米，水平方向可達到20米。對流層誤差同樣通過經驗模型來進行修正。 GPS星歷中通過給定電離層對流層模型以及模型參數來消除電離層和對流層誤差。實驗資料表明，利用模型對電離層誤差改進有效性達到75%，對流層誤差改進有效性為95%。
3 GPS星歷結構及解算過程
要得到接收機的位置，在接收機時鐘和GPS標準時嚴格同步的情況下，則待求解位置是3個未知變量，需要3個獨立方程來求解。但是實際情況中，很難做到接收機時鐘和GPS標準時嚴格同步，這樣，我們把接收機時間和GPS標準時間偏差也作為一個未知變量，這樣，求解就需要4個獨立方程，也就是需要有4顆觀測衛星。圖1 GPS定位示意圖（未考慮時間偏差） 假設接收機位置為（xu，yu，zu） ，接收機時間偏差為 tu，則由于時間偏差引起的距離偏差為為得到的偽距觀測值。我們可以得到聯立方程 （5） 將上式線性化，即在真實位置（xu，yu，zu）進行泰勒級數展開，忽略高次項，得到 （6） 其中， 式（6）即為實際計算的疊代公式，疊代終止條件是真實位置 （xu，yu，zu）的變化量小于某一個閾值，最終得到 可以作為調整接收機時間偏差的依據，計算一般采用矩陣方式求解。要求解該方程，我們還需要預先知道4顆衛星的位置 （xj，yj，zj），而衛星位置可以從該衛星的星歷中獲得。 GPS衛星星歷給出了本星的星歷，根據星歷可以算出衛星的實時位置，并且星歷中給出了消除衛星星鐘誤差、相對論誤差、地球自轉誤差、電離層和對流層誤差的參數，根據這些參數計算出的衛星位置，可以基本上消除上述誤差。 求解衛星位置的基本步驟為： 計算衛星運行平均角速度 ①計算歸化時間； ②計算觀測時刻的平近點角； ③計算偏近點角； ④計算衛星矢徑； ⑤計算衛星真近點角； ⑥計算升交點角距； ⑦計算攝動改正項； ⑧計算經過攝動改正的升交距角、衛星矢徑、軌道傾角； ⑨計算觀測時刻的升交點經度； ⑩計算衛星在地心坐標系中的位置。 特別值得指出的是，在計算衛星真近點角Vk時，應采用公式 （7） 其中，e為偏心率， Ek為衛星偏近點角。有部分參考書籍計算衛星真近點角的公式有誤，會導致衛星真近點角 的象限模糊問題，從而無法得到衛星正確位置。 進行上述計算后，再根據星歷中廣播的各誤差參數進一步消除各項誤差。這樣，我們就得到一個完整的利用GPS星歷進行導航定位解算的過程。
4 結論
我們詳細地敘述了GPS衛星的導航定位原理以及定位解算的算法，分析了其中主要誤差來源和消除方法。當然，對于衛星數多于4顆星時的算法以及差分GPS算法都可以在此算法基礎上進行深入研究。
整理：洪麓豐
